domingo, 24 de mayo de 2015

Modulo V: Aplicaciones de la derivada.

Objetivo

 El alumno analizará el comportamiento de las funciones con el uso de técnicas de optimización. Aplicará estas técnicas en la resolución de problemas de las disciplinas económico-administrativas.

5.1 Función creciente y decreciente.



Una función f se dice que es creciente si al considerar dos puntos de su gráfica, (x1, f(x1) ) y  ( x2, f(x2) )  con

x1
<
 x2
Se tiene que
f(x1)
<
f(x2).
Prevalece la relación  <



 















Una función f se dice que es decreciente si al considerar dos puntos de su gráfica, (x1, f(x1) ) y  ( x2, f(x2) )  con

x1
<
 x2
Se tiene que
f(x1)
>
f(x2).
Cambia la relación de <  a  >



 












Una función f se dice que es constante si al considerar dos puntos de su gráfica, (x1, f(x1) ) y  ( x2, f(x2) )  con

x1
<
 x2
Se tiene que
f(x1)
=
f(x2).
Las y no cambian, son fijas










Considera la siguiente gráfica:




















5.2Extremos relativos y extremos absolutos.


Máximo absoluto

Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Mínimo absoluto

Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.
Representación
a = 0
Gráfica
b = 0

Máximo y mínimo relativo

Una función f tiene un máximo relativo en el punto a, si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a.
Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b, si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.
Gráfica de la función
a = 3.08     b = -3.08






 http://www.vitutor.com/fun/2/a_9.html 

5.3 Prueba de la segunda derivada para la determinación de máximos y mínimos.

Sea f una función continua en un intervalo cerrado $[a,b]$, que es derivable en todo punto del intervalo abierto $]a,b[$.

Sea c en $]a,b[$ tal que $f'(c) = 0 $ o $f'(c)$ no existe.
a.
Si $f'(x)$ es positiva para todo $x<c$, y negativa para todo $x>c$, entonces $f(c)$ es un valor máximo relativo de $f(x)$.
b.
Si $f'(x)$ es negativa para toda $x<c$, y positiva para toda $x>c$, entonces $f(c)$ es un mínimo relativo de $f(x)$.
c.
Si $f'(x)$ es positiva para todo $x<c$ y también lo es para todo $x>c$; o si $f'(x)$ es negativa para todo $x<c$ y a su vez para todo $x>c$, entonces $f(c)$ no es un valor máximo relativo ni un valor mínimo relativo de $f(x)$. 
  Las situaciones enunciadas en a., b. y c. pueden representarse gráficamente como sigue:

Máximo relativo en $x=c$


Mínimo relativo en $x=c$
 
 

En $x=c$ no hay ni máximo ni mínimo relativo.
 

 https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node4.html

 

5.4 Concavidad, puntos de inflexión y prueba de la segunda derivada.

 
  Definición  de concavidad
  Se dice que la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo A, $(A\subseteq D_{f})$, si $f'(x)$ es creciente sobre A. Si $f'(x)$ es decreciente sobre A entonces se dice que la gráfica de f es cóncava hacia abajo.
Note que es la función derivada $f'$ la que debe ser creciente o decreciente en el intervalo A.

En la siguiente representación gráfica, una función f es cóncava hacia arriba en el intervalo $]a,b[$ y cóncava hacia abajo en el intervalo $]b,c[$



Teorema 6
Si f es una función tal que $f''(x)<0$ cuando $x \in ]a,b[$, entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo sobre $]a,b[$.

Demostración:

De la hipótesis: $f''(x)<0$, y como $f''(x)_{x}=D_{x}f'(x)$, se obtiene que $f'(x)$ es decreciente sobre $]a,b[$ por lo que según la definición dada sobre concavidad, la gráfica de la función f es cóncava hacia abajo sobre $]a,b[$.



Definición
  Se dice que $(x_{0},f(x_{0}))$ es un punto de inflexión de la gráfica de una función f, si existe un intervalo $]a,b[$ tal que $x_{0} \in ]a,b[$, y la gráfica de f es cóncava hacia arriba sobre $]a,x_{0}[$, y cóncava hacia abajo sobre $]x_{0},b[$, o viceversa.
Podemos representar lo anterior en forma gráfica como sigue:



Criterios de la segunda derivada para máximos y mínimos relativos

Sea f una función con su primera derivada definida, al menos, en un intervalo abierto conteniendo al número a. Si f´´ esta definida entonces podemos considerar los siguiente aspectos:
 
a).-  Si f´(a)=0   y     f´´(a)<0 entonces se dice que f tiene un máximo local en a.
b).- Si f´(a)=0    y    f´(a)>0 entonces se dice que f tiene un mínimo local en a.

http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/criterio_de_la_segunda_derivada.htm 


5.6 Optimización de funciones económico administrativas: maximización de funciones de ingreso, útilidad y beneficios; minimización de funciones de costos y costos promedios.

 La maximización de utilidades es la piedra angular del análisis económico y es crucial para la operación de cualquier negocio hoy en . El problema principal es calcular la cantidad correcta de bienes para producir al precio adecuado dadas ciertas condiciones en el . La de optimización del cálculo permite hacer lo anterior de manera muy sencilla.

 

Instrucciones

    Define la función de la utilidad

  1. 1
    Escribe la función de la utilidad y la restricción presupuestaria. La función de utilidad, U(x,y) es una función con respecto a dos bienes, 'x' y 'y'. El propósito de la maximización de utilidades es calcular cuánto de cada de estos bienes debe comprarse.
  2. 2
    Escribe la restricción presupuestaria. Esta es la cantidad que costará comprar 'x' y 'y', por lo que depende de los precios Px y Py. Una restricción presupuestaria típica se verá como Px * x + Py * y ≤ I, en donde I son tus ingresos. En otras palabras, la restricción presupuestaria es el precio de 'x' veces la cantidad de 'x' sumado al precio de 'y' veces la cantidad de 'y', que no puede ser mayor a tus ingresos totales.
  3. 3
    Combina las dos ecuaciones para formar la expresión de Lagrange, que puede ser escrita como L = U(x,y) + λ[I - Px*x - Py*y], en donde λ es llamado el multiplicador de Lagrange. Todos los pasos del cálculo serán realizados en la función de Lagrange.

    Obtener las derivadas

  1. 1
    Obtén las derivadas de la función de Lagrange con respecto a 'x' e iguala la ecuación resultante a 0. Esto dará como resultado dL/dx = MUx - λ * Px = 0. En este caso MUx es la "utilidad marginal con respecto a 'x'", que es lo mismo que la derivada de U(x,y) con respecto a 'x'.
  2. 2
    Obtén la derivada de la función de Lagrange con respecto a 'y' e iguala la ecuación resultante a 0. Esto te dará como resultado dL/dy = MUy - λ * Py = 0. En este caso MUy es la "utilidad marginal con respecto a 'y'", que es lo mismo que la derivada de U(x,y) con respecto a 'y'.
  3. 3
    Obtén la derivada de la función de Lagrange con respecto a λ e iguala la ecuación resultante a 0. Esto dará como resultado I - Px * x - Py * y = 0, que es justamente la restricción presupuestaria.

    Resuelve el sistema de ecuaciones

  1. 1
    Resuelve para 'x' como función de 'y'. Esto puede lograrse escribiendo MUx = λ * Px y MUy = λ * Py, que puede derivarse fácilmente de la parte anterior. Dividiendo y cancelando las λs obtienes como resultado MUx/MUy = Px/Py. El valor del lado izquierdo es la tasa marginal de sustitución, y el valor del lado derecho es la pendiente de la curva de indiferencia. Dependiendo de la función de utilidad particular dada en este problema, usa estos valores para escribir x = f(x).
  2. 2
    Sustitutye x = f(y) en la restricción presupuestaria. Esto dará como resultado I - Px * f(y) - Py * y = 0. Dado que esta es una ecuación solamente en 'y', resuelve para 'y'.
  3. 3
    Finalmente resuelve para 'x' usando el valor de 'y' que calculaste. Esto te da la ecuación I - Px * x - Py * y. Dado que Px, Py, y 'y' son valores conocidos, resuelve para 'x'. Los valores de 'x' y 'y' que has calculado son los valores maximizados de utilidad para los dos bienes

     

    5.6 Elasticidades: elasticidad de la demanda y elasticidad del ingreso.


    La elasticidad de la demanda o elasticidad-precio de la demanda es un concepto económico que sirve para describir la variación en la demanda de un bien o servicio ante cambios en los precios del mismo. Por tanto, la elasticidad de la demanda explica la variación porcentual en la cantidad demandada con respecto variaciones porcentuales en el precio. Este término elasticidad de la demanda fue creado por el economista inglés Alfred Marshall y con el trataba de demostrar la relación entre precios y demanda, la cual normalmente es decreciente:
      
     

    Elasticidad desigual col

http://www.rankia.mx/informacion/elasticidad-de-la-demanda




















Al igual que la demanda puede ser medida por un coeficiente como la elasticidad precio de la demanda, ésta puede ser medida pero tomando como variable el ingreso de los consumidores. La ecuación es la siguiente:
ηI=ΔQ/ΔI . I/Q
En esta ecuación se mide la variación porcentual del consumo cuando aumenta el ingreso de los consumidores. Este coeficiente puede ser positivo o negativo. Si es positivo significa que el bien en estudio, el cual varía su consumo, es un bien normal, y si el coeficiente es negativo, el bien será inferior. Este coeficiente se puede estimar teniendo una función de demanda con los coeficientes respectivos, siguiendo los pasos dados en el caso de la elasticidad precio de la demanda.

http://www.zonaeconomica.com/teoria-utilidad-demanda/elasticidad/ingreso
  Esta ultima unidad lo que vimos era si las funciones eran decrecientes o crecientes, cuales eran sus extremos relativos y absolutos.
Así como la prueba de la primera derivada y segunda derivada donde era para diferentes situaciones donde tenias que utilizar una de estas.
La concavidad si es hacia arriba o hacia abajo; la elasticidad de una función así como de demanda y de ingreso.


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