Modulo IV . Tópicos complementarios de diferenciación.

Objetivo:

El alumno aprenderá el uso de técnicas avanzadas de derivación y sus aplicaciones, para casos especiales como derivas de funciones exponenciales, funciones logarítmicas y funciones implícitas, entre otras. Comprenderá el concepto de diferencial y sus aplicaciones.

4.1 Derivada de funciones logarítmicas.

La derivada de un logaritmo en base a es igual a la derivada de la función dividida por la función, y por el logaritmo en base a de e.

Como , también se puede expresar así:

http://www.dervor.com/derivadas/derivada_logaritmo.html

4.2 Derivadas de funciones exponenciales.

 

La derivada de la función exponencial ea igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.

 

Derivada de la función exponencial de base e

La derivada de la función exponencial de base e ea igual a la misma función por la derivada del exponente.

 

 http://www.dervor.com/derivadas/derivada_exponencial.html

4.3 Diferenciación implícita.

   Se dice que una función está definida explícitamente cuando se da de la forma y = f (x); esto es cuando se da y despejada en términos de x. En cambio, si en una ecuación, como por ejemplo, 2yx = cos3y, existe una función tal que y = f (x), se dice que y es una función que está definida implícitamente por la ecuación. Una ecuación en x e y puede definir a más de una función implícita.
v    En muchas ocasiones no se puede resolver explícitamente una función dada en forma implícita.
v    Es posible hallar la derivada de una función expresada implícitamente, sin necesidad de transformarla en su equivalente explícita.

 

 http://ed21.webcindario.com/CalculoDiferencial/derivacion_implicita.htm

4.5 Diferenciación logarítmica.

Con determinadas funciones, especialmente para la función potencial-exponencial, es aconsejable el empleo de la derivación logarítmica, ya que facilitan bastante el cálculo.

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http://www.dervor.com/derivadas/derivacion_logaritmica.html

4.5 Derivadas de orden superior.

Derivadas de Orden Superior y Regla de L’Hôspital

La derivada de cualquier función determina la tasa de variación en función de la función con respecto a la entrada de la función. Este proceso de encontrar la derivada de una función se puede aplicar en una cascada muchas veces para encontrar las derivadas de orden superior de la función. Por ejemplo, al diferenciar la derivada de primer orden de la función, uno obtendrá la derivada de segundo orden de la función y a través de la diferenciación de la derivada de segundo orden de la función obtendremos la derivada de tercer orden de la función y así sucesivamente. En términos simples diferenciar la derivada de una función dará lugar a una derivada de la función de orden superior por un grado. La derivada de primer orden de la función se representa como,

La derivada de segundo orden de una función se representa como,

La derivada de tercer orden de una función se representa como,

Y así sucesivamente. La derivada de segundo orden de la función también se conoce como “g doble prima de y”, donde g es la función en términos de y. De manera similar la derivada de tercer orden de una función también se conoce como “g triple prima de y”, etc. Las derivadas de orden superior de cualquier función pueden derivarse de esta forma hasta que la derivada obtenida es diferenciable en sí misma.

La derivada de segundo orden de una función f(x), que es todavía más diferenciable,

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La derivada de la derivada de una función se conoce como segunda derivada de la función, es decir, si f(x) es una función y existe su primera derivada f´(x), en el caso de que se pueda obtener, la derivada de la función obtenida de aplicar la derivada se le llama segunda derivada:

 

 

de manera similar se puede obtener las derivadas de mayor orden, sin embargo es necesario aclarar que las derivadas de una función dependen de las características de la función y es posible, y frecuentemente sucede, que algunas derivadas existen pero no para todos los ordenes pese a que se puedan calcular con las formulas. Es necesario considerar los teoremas expuestos en la sección de los teoremas.

 

Las notaciones usuales utilizadas para derivadas de segundo orden son:

 

 

 

para derivadas de orden superior es de forma similar, así por ejemplo tendríamos las siguientes derivadas:

 

 

http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/derivadas_de_orden_superior.htm

4.6 Diferenciales.

 

Sea f(x) una función derivable. Diferencial de una función correspondiente al incremento h de la variable independiente, es el producto f'(x) · h. Se representa por dy.

  La diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada de la tangente, correspondiente a un incremento de la variable independiente.

http://www.vitutor.com/fun/4/b_12.html 

4.7 Aplicaciones a las ciencias económico administrativas: costo marginal, ingreso marginal, utilidad marginal, propensión marginal al consumo y propensión marginal al ahorro.

Costo marginal

El costo marginal se define como la variación en el costo total, ante el aumento de una unidad en la cantidad producida, es decir, es el costo de producir una unidad adicional.
Matemáticamente se expresa como la derivada parcial del costo total respecto a la cantidad:

Costo Marginal = ∂Costo Total / ∂Cantidad

CMg = ∂CT / ∂Q

El costo marginal es un concepto fundamental en la teoría microeconómica, debido a que se utiliza para determinar la cantidad de producción de las empresas y los precios de los productos.
El costo marginal depende de la tecnología utilizada en la producción y de los precios de los insumos y los factores de producción
http://www.zonaeconomica.com/costo-marginal

 Ingreso marginal
De acuerdo a los principios económicos básicos, si una empresa reduce el precio de sus productos, venderá más unidades, aunque ganará menos dinero por cada producto adicional que venda. Este "dinero adicional" (el ingreso que se genera al vender una unidad adicional de un producto) es el ingreso marginal, el cual puedes calcular con la formula sencilla: ingreso marginal = (cambio total en el ingreso)/(cambio en el número de las unidades vendidas).

http://es.wikihow.com/calcular-el-ingreso-marginal

 Utilidad marginal

Utilidad Marginal es el aumento o disminución de la utilidad total que acompaña el aumento o disminución de la cantidad que se posee de un Bien. Un ejemplo que lo ilustra es el caso de una persona sedienta que encuentra un vaso de agua en el desierto. El primer vaso será extremadamente valorado. Pero si se toma un segundo vaso dicha valoración va a ser menor. El vaso número 10 probablemente no le generará ningún placer, pudiendo ocasionar incluso un malestar.
http://www.eco-finanzas.com/diccionario/U/UTILIDAD_MARGINAL.htm

 Propensión marginal al consumo
 En economía, la propensión marginal al consumo (PMC) es una métrica empírica que cuantifica el consumo inducido, el concepto de que ante un aumento en el nivel de ingreso disponible aumentará el gasto en consumo.
La propensión marginal al consumo cuantifica que cantidad de un aumento en el ingreso disponible se destinará consumo. Por ejemplo, si una familia gana un dólar adicional de ingreso disponible, y la propensión marginal al consumo es 0,65, el hogar gastará 65 centavos y ahorrará (propensión marginal al ahorro) 35 centavos.

http://www.enciclopediafinanciera.com/definicion-propension-marginal-al-consumo.html

 Propensión marginal al ahorro
En economía, la propensión marginal al ahorro (PMA) es una métrica empírica que cuantifica el ahorro inducido, el concepto de que ante un aumento en el nivel de ingreso disponible aumentará el nivel de ahorro.
La propensión marginal al ahorro cuantifica que cantidad de un aumento en el ingreso disponible se destinará a ahorro. Por ejemplo, si una familia gana un dólar adicional de ingreso disponible, y la propensión marginal al consumo es 0,40, el hogar ahorrará 40 centavos y consumirá(propensión marginal al consumo) 60 centavos.

http://www.enciclopediafinanciera.com/definicion-propension-marginal-al-ahorro.html

 En este cuarto modulo vimos lo que eran las funciones de logarítmos, exponenciales.
Estas derivadas si estaban fácil pero algunas se nos complicaban mas por ciertas reglas de derivación que deben de cumplir.
Aunque las más sencillas fueron las de orden superior, pues solo era derivar varias veces dependiendo cual fuera el exponente mas grande era la cantidad de veces que tenias que derivar.

Derivadas de Orden Superior y Regla de L’Hôspital

La derivada de cualquier función determina la tasa de variación en función de la función con respecto a la entrada de la función. Este proceso de encontrar la derivada de una función se puede aplicar en una cascada muchas veces para encontrar las derivadas de orden superior de la función. Por ejemplo, al diferenciar la derivada de primer orden de la función, uno obtendrá la derivada de segundo orden de la función y a través de la diferenciación de la derivada de segundo orden de la función obtendremos la derivada de tercer orden de la función y así sucesivamente. En términos simples diferenciar la derivada de una función dará lugar a una derivada de la función de orden superior por un grado. La derivada de primer orden de la función se representa como,

La derivada de segundo orden de una función se representa como,

La derivada de tercer orden de una función se representa como,

Y así sucesivamente. La derivada de segundo orden de la función también se conoce como “g doble prima de y”, donde g es la función en términos de y. De manera similar la derivada de tercer orden de una función también se conoce como “g triple prima de y”, etc. Las derivadas de orden superior de cualquier función pueden derivarse de esta forma hasta que la derivada obtenida es diferenciable en sí misma.

La derivada de segundo orden de una función f(x), que es todavía más diferenciable,

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