MATEMÁTICAS I

OBJETIVO GENERAL

El estudiante adquirirá destreza en el manejo de técnicas y procedimientos para la solución de problemas. Hará uso de lenguaje matemático, de las sistematización de información y de las formas de representación gráfica y analítica. Manejará los conocimientos, métodos y algoritmos matemáticos establecidos en los programas, tanto básicos como auxiliares para abordar los contenidos de otras materias. Elaborará y usará modelos matemáticos en la resolución de problemas de optimización de recursos.

Unidad I. Funciones. 

OBJETIVO I
1. El alumno entenderá el concepto de función y su manipulación algebraica, así como su representación gráfica. Resolverá problemas de aplicación dando especial énfasis a aquellos relacionados con las áreas económico administrativas, tales como la Economia, Mercadotecnia, Administración, Turismo, Recursos Humanos, Sistemas de Información y Negocios Internacionales.

 

  1.1 Definición y notación de una función.

En matemáticas, una función, aplicación  f es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento del codominio f(x). Se denota por:

Comúnmente, el término función se utiliza cuando el codominio son valores numéricos, reales o complejos. Entonces se habla de función real o función compleja mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones.

En muchos campos aplicados, inclusive a veces en textos de matemáticas, se encuentra la expresión "la función f(x)". De acuerdo a nuestra definición actual, lo anterior no hace sentido, ya que f(x) es una notación para el elemento del codominio. Otras veces, nos encontramos con algo así como "la función f(x) = x^2 - 3x + 7". Aunque aquí hay una posible asignación, no se ha especificado ni el dominio ni el codominio, por lo que en rigor la función f no está bien definida. En ciertos contextos, por ejemplo de funciones numéricas (dominio y codominio son subconjuntos de los Reales.

Las funciones se pueden representar graficamente en el plano cartesiano a través de un graficador el cual se constituye en una herramienta muy poderosa para simplificar los procesos.
Pulse aquí para descargar un programa que nos permite hacer gráficas.

http://funcionesespecializacion.blogspot.mx/2010/10/la-notacion-funcional.html

1.2 Dominio y Rango de una Función.

El dominio de una función está dado por el conjunto de valores que puede tomar una función. Por ejemplo si f(x) = x;  esta variable x puede tomar cualquier valor, no tiene ninguna restricción, entonces su dominio esta compuesto por todos los números Reales.
Como los valores de la función están dados para la variable independiente (x), los valores que puede tomar la función son aquellos para los cuales al evaluar la función para un valor de x, su resultado nos da un número Real. Por ejemplo la función:
f(x) = ,
Para buscar el dominio de la función, se debe analizar para qué valores de x la función produce como resultado un número Real. Se observa, para el ejemplo que al asignarle a x un número negativo, la expresión se nos presenta como una raíz cuadrada de un número negativo, lo cual no es posible; no es posible hallar dentro de los Reales un número que satisfaga la expresión; por lo tanto el dominio de la función está constituido por todos los números mayores o iguales que cero; expresado como:

En general se pueden seguir las siguientes recomendaciones para obtener el dominio de una función o de una expresión algebraica:

• No puede haber una raíz cuadrada ( ó cualquier raíz par ) negativa, pues se trataría de un número imaginario que no hace parte de los Reales.
• Un fraccionario no puede contener por denominador cero, pues la expresión queda indeterminada.

El rango de una función, está determinado por todos los valores que pueden resultar al evaluar una función. Son los valores obtenidos para la variable dependiente (y). También se puede expresar como todos los valores de salida de la función.
Por ejemplo:

Si x=2, evaluamos f(2) = 2 ^2 = 4. Y así podemos hacerlo con cualquier número, positivo o negativo. Como x está elevada al cuadrado todos los valores resultantes (es decir de salida) son positivos. Con lo anterior se obtiene que el rango está conformado por el cero y todos los números positivos.
Al graficar la función se obtiene:

Para obtener el rango desde el punto de vista gráfico, debemos poner nuestra atención en el eje y. Se puede ver que el rango está dado por valores mayores o iguales que cero, pues la parábola que lo representa esta ubicada del eje x hacia arriba. Con esto, y lo explicado anteriormente el rango es:

Las funciones tienen gran cantidad de aplicaciones, en la ingeniería por ejemplo cuando la resistencia de un material está en función de las horas de trabajo, en la desintegración radiactiva cuando esta depende del tiempo transcurrido, así como las tasas de crecimiento poblacional, en los cálculos de tasas de interés, etc.

http://artigoo.com/dominio-y-rango-de-una-funcion

  1.3 Tipos de funciones.

 Funciones algebraicas

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Las funciones algebraicas pueden ser:

Funciones explícitas

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

f(x) = 5x − 2

Funciones implícitas

Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

5x − y − 2 = 0

 Funciones polinómicas

Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.

f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₂x³ +··· + a_nxⁿ

Su dominio es , es decir, cualquier número real tiene imagen.

 Funciones constantes

El criterio viene dado por un número real.

f(x)= k

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

 Funciones polinómica de primer grado

f(x) = mx + n

Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.

Son funciones de este tipo las siguientes:

Función afín.

Función lineal.

 Funciones cuadráticas

f(x) = ax² + bx + c

Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

Funciones racionales

El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

 Funciones radicales

El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.

El dominio de una función irracional de índice impar es R.

El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Funciones algebraicas a trozos

Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.

Funciones en valor absoluto.

Función parte entera de x.

Función mantisa.

Función signo.

 Funciones trascendentes

La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

 Funciones exponenciales

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a^x se llama función exponencial de base a y exponente x.

Funciones logarítmicas

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

 Funciones trigonométricas

Función seno

f(x) = sen x

Función coseno

f(x) = cos x

Función tangente

f(x) = tg x

Función cosecante

f(x) = cosec x

Función secante

f(x) = sec x

Función cotangente

f(x) = cotg x

http://www.vitutor.com/fun/2/c_1.html 

1.4 Operaciones con funciones.

Suma de funciones

Sean f  y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por

 

                                         

 

Resta de funciones

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función

 

                                         

 

Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.

 

Producto de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por

 

                                         

 

Cociente de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por

 

                                               

 

(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.)

 

Producto de un número por una función

Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por

 

                                            

  http://www.sectormatematica.cl/contenidos/funoper.htm

 

 1.5 Composición de Funciones.

 

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las

funciones f y g, y se escribe g o f, a la función definida de R en R, por (g o f )(x) = g[f(x)].

 

La función ( g o f )(x) se lee « f compuesto con g aplicado a x ».

 

 

Primero actúa la función f y después actúa la función g, sobre f(x).

 

 

Cálculo de la imagen de un elemento mediante una función compuesta

 

Para obtener la imagen de la función compuesta aplicada a un número x, se siguen estos pasos:

 

1. Se calcula la imagen de x mediante la función f, f(x).

 

2. Se calcula la imagen mediante la función g, de f(x). Es decir, se aplica la función g al resultado obtenido anteriormente.

 

 

Ejercicio:

 Sean las funciones f(x) = x + 3 y g(x) = x².

 

Calcular g o f y la imagen mediante esta función de 1, 0 y -3.

 

 

Resolución:

 

      

 

· La imagen de dos números 1, 0, -3, mediante la función g o f es:

 

 

‚ Dadas las funciones f(x) = x² + 1, y g(x) = 3x - 2, calcular:

a) (g o f ) (x)

b) (f o g ) (x)

c) (g o f ) (1) y (f o g ) (-1)

d ) El original de 49 para la función g o f.

 

Resolución:

 

 

                                                                     

 

 

                                                                       

 

 

c) Aplicando los resultados de los apartados anteriores:

 

 

 

(g o f ) (x) = 3x² + 1 = 49. Basta con resolver esta ecuación.

   

http://www.sectormatematica.cl/contenidos/funcomp.htm

 

1.6 Gráfica de una función. 

La gráfica de una función está formada por el conjunto de puntos (x, y) cuando x varía en el dominio D.

gráfica (f) = {(x, f(x)) / x ∈ D}

Para representarla calcularemos aquellos puntos o intervalos donde la función tiene un comportamiento especial, que determinaremos mediante el estudio de los siguientes apartados:

1.    Dominio de la función.

2.    Simetría

3.    Periodicidad

4.    Puntos de corte con los ejes.

5.    Asíntotas

6.    Ramas parabólicas

7.    Crecimiento y Decrecimiento

8.    Máximos y mínimos

9.    Concavidad y convexidad

10.   Puntos de inflexión

Ejemplo de representación de una función

Dominio

Simetría

Simetría respecto al origen, es decir, la función es impar

Puntos de corte

Punto de corte con OX:

Punto de corte con OY:

Asíntotas

Asíntota horizontal

No tiene asíntotas verticales ni oblicuas

Crecimiento y de crecimiento

Máximos y mínimos

Candidatos a extremos: x = − 1 y x = 1.

Concavidad y convexidad

Puntos de inflexión

Representación gráfica

http://www.vitutor.com/fun/5/c_1.html

1.7 Función lineal y función cuadrática.

Función Lineal 

La función lineal es del tipo:

y = mx

Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.

y = 2x

x	0	1	2	3	4
y = 2x	0	2	4	6	8

Pendiente

m es la pendiente de la recta.

La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.

Si m > 0 la función es creciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.

Si m < 0 la función es decreciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.

http://www.vitutor.com/fun/2/c_3.html

Función Cuadrática

Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

f(x) = ax² + bx + c

Representación gráfica de la parábola

Podemos construir una parábola a partir de estos puntos:

1. Vértice

Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola.

La ecuación del eje de simetría es:

2. Puntos de corte con el eje OX

En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos:

ax² + bx + c = 0

Resolviendo la ecuación podemos obtener:

Dos puntos de corte: (x₁, 0) y (x₂, 0) si b² − 4ac > 0

Un punto de corte: (x₁, 0) si b² − 4ac = 0

Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0

3. Punto de corte con el eje OY

En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:

f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c        (0,c)

Ejemplo

Representar la función f(x) = x² − 4x + 3.

1. Vértice

x_v = − (−4) / 2 = 2     y_v= 2² − 4· 2 + 3 = −1       

 V(2, −1)

2. Puntos de corte con el eje OX

x² − 4x + 3 = 0

       

(3, 0)      (1, 0)

3. Punto de corte con el eje OY

(0, 3)

 http://www.vitutor.com/fun/2/c_5.html

1.8 Función exponencial y logarítmica.

 Función Exponencial.

Definición:  Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = b^x , donde b  y  x son números reales tal que b > 0  y  b es diferente de uno.

El dominio  es el conjunto de todos los números reales y el recorrido es el conjunto de todos los números reales positivos.

1) f(x) = 2^x                                  

Propiedades de f(x) = b^x, b>0, b diferente de uno:

1)  Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1).

2)  Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos.

3)  El eje de x es la asíntota horizontal.

4)  Si  b > 1 (b, base), entonces b^x aumenta conforme aumenta x.

5)  Si  0 < b < 1, entonces b^x disminuye conforme aumenta x.

6)  La función f es una función uno a uno.

Propiedades de las funciones exponenciales:  Para a  y  b positivos, donde a y b son diferentes de uno y  x, y  reales:

1) Leyes de los exponentes:

   

2)  a^x = a^y  si y sólo si  x = y

3)  Para x diferente de cero, entonces a^x = b^x  si y sólo si  a = b.

Las funciones lineales y cuadráticas se pueden escribir de la forma f(x) = mx + b, y f(x) = ax2 + bx + c respectivamente, quieres saber a detalle que son las funciones lineales y cuadráticas, cómo se representan en la gráfica y algunos ejemplos? Sigue leyendo!

Funciones lineales y cuadráticas

Funciones lineales

Una función lineal es una función polinómica de primer grado, en un gráfica se representa como una línea recta y se escribe: f(x) = mx + b.
Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada a la primera potencia, cuando la potencia es 1 normalmente no se escribe.
m = pendiente de la recta (constante).
b = punto de corte de la recta con el eje y (constante).
x = variable.
Cuando modificamos “m” en una función lineal se modifica la pendiente es decir la inclinación de la recta, si cambiamos “b” la línea se mueve hacía arriba o abajo.
Las funciones se pueden clasificar en tres tipos:

• Si el valor de “m” es mayor a cero la función es creciente.
• Si el valor de “m” es menor a cero la función es decreciente.
• Si “m” es igual a cero la función es constante (su gráfica será una recta paralela al eje X).

Estos son los tres tipos de funciones:

Haz click en la imagen para verla más grande

Ejemplo

Tenemos la siguiente función: y = 1.5 x + 3
la pendiente es 3/2, cuando aumentamos x en una unidad “y” aumenta en 3/2 de unidad, b = 3 entonces la recta corta el eje y en el punto y = 3.
Para graficar podemos hacer una tabla de valores y graficamos cada punto en el plano cartesiano.

Funciones cuadráticas

Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado que se escribe : f(x) = ax² + bx + c
a, b y c = números reales diferentes a cero.
Si a>0 el vértice de la parábola estará en la parte inferior y si o a<0 el vértice estará en la parte superior de la parábola.
La gráfica de una función cuadrática es una parábola de la cual el eje de simetría es paralelo al eye de las “y”.
Modificaciones en la función, si sumamos o restamos dentro del paréntesis la parábola se mueve hacia la izquierda o la derecha respectivamente, Si restamos o sumamos en la función fuera del paréntesis la parábola se mueve hacia abajo o hacia arriba.
Para obtener la raíces de la ecuación seguimos estos pasos:

1. Igualar la ecuación a cero.
2. Factorizar la ecuación.
3. Igualar cada factor a cero y obtener las raíces.

Para graficar la función seguimos estos pasos:

1. Con el valor de “a” determinar si la parábola abre hacía arriba o hacía abajo.
2. Obtener los puntos de intersección, los del eje “x” se obtienen con las raíces de la ecuación, para obtener las intersecciones en “y” igualamos la x a cero.
3. Obtener el vértice de la función, el punto “x” de la coordenada del vértice se obtiene con la  fórmula -b/2a y el punto “y” se obtiene sustituyendo x en la función.
4. Graficar los puntos obtenidos en los puntos 2 y  3 para graficar la curva.

Espero te haya quedado muy claro que son las funciones lineales y cuadráticas y sus características!
- See more at: http://matematicasmodernas.com/funciones-lineales-y-cuadraticas/#sthash.masELTa0.dpuf

Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) == log_ax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.
La función logarítmica es la inversa de la función exponencial (ver t35), dado que:
log_a x = b Û a^b = x.

Representación gráfica de funciones logarítmicas y de sus inversas (exponenciales).

Las funciones lineales y cuadráticas se pueden escribir de la forma f(x) = mx + b, y f(x) = ax2 + bx + c respectivamente, quieres saber a detalle que son las funciones lineales y cuadráticas, cómo se representan en la gráfica y algunos ejemplos? Sigue leyendo!

Funciones lineales y cuadráticas

Funciones lineales

Una función lineal es una función polinómica de primer grado, en un gráfica se representa como una línea recta y se escribe: f(x) = mx + b.
Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada a la primera potencia, cuando la potencia es 1 normalmente no se escribe.
m = pendiente de la recta (constante).
b = punto de corte de la recta con el eje y (constante).
x = variable.
Cuando modificamos “m” en una función lineal se modifica la pendiente es decir la inclinación de la recta, si cambiamos “b” la línea se mueve hacía arriba o abajo.
Las funciones se pueden clasificar en tres tipos:

• Si el valor de “m” es mayor a cero la función es creciente.
• Si el valor de “m” es menor a cero la función es decreciente.
• Si “m” es igual a cero la función es constante (su gráfica será una recta paralela al eje X).

Estos son los tres tipos de funciones:

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Ejemplo

Tenemos la siguiente función: y = 1.5 x + 3
la pendiente es 3/2, cuando aumentamos x en una unidad “y” aumenta en 3/2 de unidad, b = 3 entonces la recta corta el eje y en el punto y = 3.
Para graficar podemos hacer una tabla de valores y graficamos cada punto en el plano cartesiano.

Funciones cuadráticas

Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado que se escribe : f(x) = ax² + bx + c
a, b y c = números reales diferentes a cero.
Si a>0 el vértice de la parábola estará en la parte inferior y si o a<0 el vértice estará en la parte superior de la parábola.
La gráfica de una función cuadrática es una parábola de la cual el eje de simetría es paralelo al eye de las “y”.
Modificaciones en la función, si sumamos o restamos dentro del paréntesis la parábola se mueve hacia la izquierda o la derecha respectivamente, Si restamos o sumamos en la función fuera del paréntesis la parábola se mueve hacia abajo o hacia arriba.
Para obtener la raíces de la ecuación seguimos estos pasos:

1. Igualar la ecuación a cero.
2. Factorizar la ecuación.
3. Igualar cada factor a cero y obtener las raíces.

Para graficar la función seguimos estos pasos:

1. Con el valor de “a” determinar si la parábola abre hacía arriba o hacía abajo.
2. Obtener los puntos de intersección, los del eje “x” se obtienen con las raíces de la ecuación, para obtener las intersecciones en “y” igualamos la x a cero.
3. Obtener el vértice de la función, el punto “x” de la coordenada del vértice se obtiene con la  fórmula -b/2a y el punto “y” se obtiene sustituyendo x en la función.
4. Graficar los puntos obtenidos en los puntos 2 y  3 para graficar la curva.

Espero te haya quedado muy claro que son las funciones lineales y cuadráticas y sus características!
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http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/expow.htm

http://www.hiru.com/matematicas/funcion-logaritmica 

1.9 Aplicaciones en las ciencias económico administrativas: funciones de oferta y demanda; recta presupuestal, funciones de ingresos, costos y utilidades; funciones de apreciación y depreciación.

  Las ecuaciones de oferta y demanda.

Para establecer el punto de equilibrio es necesario determinar las ecuaciones de oferta y demanda, las cuales tienen la siguiente forma:

     (oferta)

     (demanda)

De donde:

p:  es el precio del producto

q:  la cantidad de unidades a ofrecer o demandar, según sea el caso (oferta o demanda)

m: la pendiente es una constante positiva en el caso de la oferta y negativa para el caso de la demanda

Para determinar la ecuación de oferta se tienen los siguientes datos:

Si el precio se fija en $220.00 entonces la oferta es de 20,000 unidades, es decir:

si q = 20000 entonces p = 220.00

Si el precio se fija en $227.00 entonces la oferta es de 27,000 unidades, es decir:

si q = 27000 entonces p = 227.00

 http://www.eva.com.mx/sia/facs/Talleres/mate1/avanzau4r4.htm

En esta primer unidad comenzamos a ver sobre las funciones desde su significado hasta la notación que se utiliza, en este tipo de funciones se maneja que tienen un dominio y un rango que puede ser cualquier numero real.
Hay distintos tipos de funciones como lo son las algebraicas que se dividen en polinomicas, racionales, radicales y a trozos; y las trascendentes que se dividen en exponenciales, logaritmicas y trigonométricas. 
Estuvimos viendo la definición de cada una de estas y sus propiedades, para poder comprender  realizamos algunos ejercicios.
Para saber como se hacian ejercicios de funciones con operaciones normales y después poder graficarlas.

Las funciones lineales y cuadráticas se pueden escribir de la forma f(x) = mx + b, y f(x) = ax2 + bx + c respectivamente, quieres saber a detalle que son las funciones lineales y cuadráticas, cómo se representan en la gráfica y algunos ejemplos? Sigue leyendo!

Funciones lineales y cuadráticas

Funciones lineales

Una función lineal es una función polinómica de primer grado, en un gráfica se representa como una línea recta y se escribe: f(x) = mx + b.
Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada a la primera potencia, cuando la potencia es 1 normalmente no se escribe.
m = pendiente de la recta (constante).
b = punto de corte de la recta con el eje y (constante).
x = variable.
Cuando modificamos “m” en una función lineal se modifica la pendiente es decir la inclinación de la recta, si cambiamos “b” la línea se mueve hacía arriba o abajo.
Las funciones se pueden clasificar en tres tipos:

• Si el valor de “m” es mayor a cero la función es creciente.
• Si el valor de “m” es menor a cero la función es decreciente.
• Si “m” es igual a cero la función es constante (su gráfica será una recta paralela al eje X).

Estos son los tres tipos de funciones:

Haz click en la imagen para verla más grande

Ejemplo

Tenemos la siguiente función: y = 1.5 x + 3
la pendiente es 3/2, cuando aumentamos x en una unidad “y” aumenta en 3/2 de unidad, b = 3 entonces la recta corta el eje y en el punto y = 3.
Para graficar podemos hacer una tabla de valores y graficamos cada punto en el plano cartesiano.

Funciones cuadráticas

Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado que se escribe : f(x) = ax² + bx + c
a, b y c = números reales diferentes a cero.
Si a>0 el vértice de la parábola estará en la parte inferior y si o a<0 el vértice estará en la parte superior de la parábola.
La gráfica de una función cuadrática es una parábola de la cual el eje de simetría es paralelo al eye de las “y”.
Modificaciones en la función, si sumamos o restamos dentro del paréntesis la parábola se mueve hacia la izquierda o la derecha respectivamente, Si restamos o sumamos en la función fuera del paréntesis la parábola se mueve hacia abajo o hacia arriba.
Para obtener la raíces de la ecuación seguimos estos pasos:

1. Igualar la ecuación a cero.
2. Factorizar la ecuación.
3. Igualar cada factor a cero y obtener las raíces.

Para graficar la función seguimos estos pasos:

1. Con el valor de “a” determinar si la parábola abre hacía arriba o hacía abajo.
2. Obtener los puntos de intersección, los del eje “x” se obtienen con las raíces de la ecuación, para obtener las intersecciones en “y” igualamos la x a cero.
3. Obtener el vértice de la función, el punto “x” de la coordenada del vértice se obtiene con la  fórmula -b/2a y el punto “y” se obtiene sustituyendo x en la función.
4. Graficar los puntos obtenidos en los puntos 2 y  3 para graficar la curva.

Espero te haya quedado muy claro que son las funciones lineales y cuadráticas y sus características!
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