Modulo III. Derivada de una función.

Objetivo III. 

El alumno entenderá el concepto de derivada y su interpretación geométrica y como razón de cambio. Utilizará la definición de la derivada para obtener algunas reglas de derivación Aplicará las reglas de derivación en la resolución de problemas que involucren los conceptos de tasa instantánea de cambio, tangente a una curva en un punto; y medida marginal de funciones de costo, utilidad, ingreso y producción.

3.1 Definición de la derivada.

 Valor límite del vínculo entre el aumento del valor de una función y el aumento de la variable independiente.

La derivada, por lo tanto, representa cómo se modifica una función a medida que su entrada también registra alteraciones. En los casos de las funciones de valores reales de una única variable, la derivada representa, en un cierto punto, el valor de la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en dicho punto.

http://definicion.de/derivada/

3.2 Diferenciación de funciones por incremento.

 

Si f(x) es una función derivable, la diferencial de una función correspondiente al incremento h de la variable independiente, es el producto f'(x) · h.

La diferencial de una función se representa por dy.

Interpretación geométrica

La diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada de la tangente, correspondiente a un incremento de la variable.

Ejemplos

 http://www.dervor.com/derivadas/diferencial.html

3.3 La derivada con razón de cambio.

Comenzando por la Razón Instantánea de Cambio de una función cuya variable independiente es el tiempo t. suponiendo que Q es una cantidad que varía con respecto del tiempo t, escribiendo Q=f(t), siendo el valor de Q en el instante t. Por ejemplo

• El tamaño de una población (peces, ratas, personas, bacterias,…)
• La cantidad de dinero en una cuenta en un banco
• El volumen de un globo mientras se infla
• La distancia t recorrida en un viaje después del comienzo de un viaje

El cambio en Q desde el tiempo t hasta el tiempo t+"t, es el incremento

La Razón de Cambio Promedio de Q (por la unidad de tiempo) es, por definición, la razón de cambio "Q en Q con respecto del cambio "t en t, por lo que es el cociente

Definimos la razón de cambio instantánea de Q (por unidad de tiempo) como el límite de esta razón promedio cuando "t!0. Es decir, la razón de cambio instantánea de Q es

Lo cual simplemente es la derivada f´(t). Así vemos que la razón de cambio instantánea de Q=f(t) es la derivada

La interpretación intuitiva de la razón de cambio instantánea, pensamos que el punto P(t,f(t)) se mueve a lo largo de la gráfica de la función Q=f(t). Cuando Q cambia con el tiempo t, el punto P se mueve a lo largo da la curva. Pero si súbitamente, en el instante t, el punto P comienza a seguir una trayectoria recta, entonces la nueva trayectoria de P corresponde que Q cambia a una razón constante.

http://html.rincondelvago.com/razon-de-cambio.html 

3.4 Diferenciabilidad y continuidad. 

 v    Así como existen límites unilaterales también podemos hablar de derivadas unilaterales. A continuación se dan las definiciones de derivadas por la derecha y por la izquierda de una función en un punto determinado.

Arriba

v    La continuidad de una función en un número no implica que la función sea derivable en dicho número; por ejemplo, la función valor absoluto es continua en 0 pero no es diferenciable en cero. Veamos:

 http://ed21.webcindario.com/CalculoDiferencial/Diferenciabilidad_y_continuidad.htm

 

  3.5 Reglas básicas de derivación: la derivada de una constante, de una constante por una función, de suma o resta de funciones, y del producto o del cociente de funciones.

REGLAS DE DERIVADAS

SUMA
PRODUCTO POR UN NÚMERO
PRODUCTO
COCIENTE
COMPOSICIÓN (Regla de la cadena)
POTENCIA
TRIGONOMÉTRICA
FUNCIONES ARCO (Inversa o recíproca de las trigonométricas)
EXPONENCIALES
LOGARÍTMICAS

 http://platea.pntic.mec.es/~anunezca/ayudas/reglas_derivadas/regla_derivadas.htm

3.6 La regla de la cadena y de la potencia.

 

 

 http://es.slideshare.net/willaren/regla-de-la-cadena-y-regla-de-la-potencia

3.7 Aplicaciones a las ciencias económico administrativas: costo marginal, ingreso marginal, utilidad marginal, propensión marginal al consumo y propensión marginal al ahorro.

 Costo marginal

El costo marginal se define como la variación en el costo total, ante el aumento de una unidad en la cantidad producida, es decir, es el costo de producir una unidad adicional.
Matemáticamente se expresa como la derivada parcial del costo total respecto a la cantidad:

Costo Marginal = ∂Costo Total / ∂Cantidad

CMg = ∂CT / ∂Q

El costo marginal es un concepto fundamental en la teoría microeconómica, debido a que se utiliza para determinar la cantidad de producción de las empresas y los precios de los productos.
El costo marginal depende de la tecnología utilizada en la producción y de los precios de los insumos y los factores de producción.
http://www.zonaeconomica.com/costo-marginal

Ingreso marginal
De acuerdo a los principios económicos básicos, si una empresa reduce el precio de sus productos, venderá más unidades, aunque ganará menos dinero por cada producto adicional que venda. Este "dinero adicional" (el ingreso que se genera al vender una unidad adicional de un producto) es el ingreso marginal, el cual puedes calcular con la formula sencilla: ingreso marginal = (cambio total en el ingreso)/(cambio en el número de las unidades vendidas).
http://es.wikihow.com/calcular-el-ingreso-marginal

 Utilidad marginal

Utilidad Marginal es el aumento o disminución de la utilidad total que acompaña el aumento o disminución de la cantidad que se posee de un Bien. Un ejemplo que lo ilustra es el caso de una persona sedienta que encuentra un vaso de agua en el desierto. El primer vaso será extremadamente valorado. Pero si se toma un segundo vaso dicha valoración va a ser menor. El vaso número 10 probablemente no le generará ningún placer, pudiendo ocasionar incluso un malestar.
http://www.eco-finanzas.com/diccionario/U/UTILIDAD_MARGINAL.htm

Propensión marginal al consumo
 En economía, la propensión marginal al consumo (PMC) es una métrica empírica que cuantifica el consumo inducido, el concepto de que ante un aumento en el nivel de ingreso disponible aumentará el gasto en consumo.
La propensión marginal al consumo cuantifica que cantidad de un aumento en el ingreso disponible se destinará consumo. Por ejemplo, si una familia gana un dólar adicional de ingreso disponible, y la propensión marginal al consumo es 0,65, el hogar gastará 65 centavos y ahorrará (propensión marginal al ahorro) 35 centavos
http://www.enciclopediafinanciera.com/definicion-propension-marginal-al-consumo.html
 
Propensión marginal al ahorro
En economía, la propensión marginal al ahorro (PMA) es una métrica empírica que cuantifica el ahorro inducido, el concepto de que ante un aumento en el nivel de ingreso disponible aumentará el nivel de ahorro.
La propensión marginal al ahorro cuantifica que cantidad de un aumento en el ingreso disponible se destinará a ahorro. Por ejemplo, si una familia gana un dólar adicional de ingreso disponible, y la propensión marginal al consumo es 0,40, el hogar ahorrará 40 centavos y consumirá(propensión marginal al consumo) 60 centavos
http://www.enciclopediafinanciera.com/definicion-propension-marginal-al-ahorro.html

En este tercer modulo comenzamos viendo la definición de una derivada y como se derivan las funciones, que hay varios tipos y formas de hacer de pende la funcion que tengas.
Las reglas de las derivadas, porque para que pueda haber una derivada debe de cumplir con algún tipo de reglas y hay varias como lo mencione para cada tipo de funcion que deseemos derivar.
El costo, ingreso y utilidad marginal es algo que nos va a servir en un futuro si llegamos a tener algún negocio vamos a utilizar una de estas formulas para saber si le aumentamos el precio a un producto pero sin que sea demasiado.